Identitas Trigonometri

Trigonometri merupakan ilmu matematika yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut dalam segitiga. Rumus identitas trigonometri menyatakan hubungan antar fungsi trigonometri yang meliputi fungsi sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec), secan (sec), dan cotangen (cotan). Melalui halaman ini, sobat idschool akan mempelajari tentang rumus identitas trigonometri dan fungsi trigonometri.

Pengantar Identitas Trigonometri

Sebelum membahas identitas trigonometri, akan diulas terlebih dahulu sisi segitiga siku – siku yang terdiri atas tiga sisi yaitu sisi depan, sisi samping, dan sisi miring. Sisi depan merupakan sisi yang berada di depan sudut. Sedangkan sisi samping berada pada samping sudut. Sisi miring merupakan sisi yang selalu berhadapan dengan sudut 90o.

Letak sisi depan, sisi samping, dan sisi miring tergantung pada letak sudut. Perhatikan letak ketiga sisi pada segitiga berikut.

Terlihat perbedaannya bukan? Mana sisi depan, sisi samping, atau sisi miring.

Sebelumnya, telah disinggung bahwa fungsi trigonometri menyatakan hubungan sudut dengan sisi yang terdapat pada sebuah segitiga. Bagaimana hubungannya?

Tiga fungsi trigonometri yang utama adalah fungsi sin, cos, dan tan. Definisi ketiga fungsi tersebut dengan sisi dan sudut pada segitiga dapat dilihat pada gambar dan persamaan di bawah.

Ada “jembatan keledai” yang dapat digunakan untuk mengingat persamaan fungsi trigonometri. Jembatan keledai tersebut berbunyi sindemi cossami tandesa.

Selain tiga sudut utama pada fungsi trigonometri, yaitu fungsi sin, cos, dan tan, terdapat fungsi kebalikannya, yaitu fungsi coses, sec, dan cotan. Perhatikan persamaan yang diberikan di bawah.

Dalam trigonometri terdapat sudut istimewa yang sering digunakan dalam pembahasan trigonometri di sekolah. Contoh beberapa besar sudut yang termasuk dalam sudut istimewa adalah 0o, 30o, 45o, 60o, dan 90o. Selain itu juga terdapat sudut istimewa lain, karena grafik trigonometri bersifat periodik.

Nilai besar sudut dari lima sudut istimewa pada segitiga dapat dilihat pada gambar di bawah.

Rumus berikut dapat digunakan untuk mencari besar nilai fungsi trigonometri yang ada hubungannya dengan sudut istimewa yang diberikan di atas. Berikut ini adalah relasi sudut fungsi trigonometri.

Untuk menjelaskan lebih detail penggunaan relasi sudut fungsi trigonometri akan ditunjukkan melalui contoh soal. Akan ditentukan nilai sudut Sin 225o.

Sin 225o = – Sin (180o + 45o)
Sin 225o = – Sin 45o
Sin 225o = –½√2

Terlihat fungsi rumus relasi sudut pada identitas trigonometri bukan? Salah satu fungsinya untuk menentukan besar fungsi trigonometri untuk sudut yang cukup besar (di atas 90o) hanya dengan mengetahui besar sudut istimewa di bawah 90o.

Sedangkan untuk sudut yang tidak ada hubungannya dengan sudut istimewa dapat dicari menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator.

Rumus Identitas Trigonometri

Rumus identitas trigonometri menyatakan hubungan suatu fungsi dengan fungsi trigonometri lainnya. Misalkan fungsi secan yang merupakan fungsi kebalikan dari fungsi cosinus. Begitu juga dengan fungsi kebalikan lain. Selain fungsi kebalikan, ada fungsi identitas trigonometri yang juga menyatakan hubungan antar fungsi trigonometri.

Beberapa hubungan persamaan identitas trigonometri dinyatakan melalui persamaan di bawah.

Sebenarnya, ada banyak fungsi identitas trigonometri. Tiga fungsi identitas trigonometri yang diberikan di atas hanyalah sebagian. Rumus tersebut merupakan rumus turunan yang diperoleh dengan menghubungkan satu fungsi trigonometri dengan fungsi trigonometri lainnya.

Karena merupakan fungsi identitas, fungsi – fungsi tersebut dapat dibuktikan kebenarannya. Cara membuktikannya dapat dengan cara merubah ruas kiri agar sama dengan ruas kanan, ataupun sebaliknya.

Sebagai contoh, akan dibuktikan kebenaran dari rumus identitas trigonometri sin2α + cos2α = 1.

Pembuktian rumus sin2α + cos2α = 1

Perhatikan gambar di bawah!

Berdasarkan nilai sinus dan cosinus seperti pada segitiga di atas dapat diperoleh persamaan berikut.

$sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = \left( \frac{y}{r} \right)^{2} + \left( \frac{x}{r} \right)^{2}$

$sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = \frac{y^{2}}{r^{2}} + \frac{x^{2}}{r^{2}}$

$sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = \frac{y^{2} + x^{2}}{r^{2}}$

Sebelum melanjutkan pembuktian rumus, ingat kembali persamaan pada pythagoras seperti yang terlihat pada gambar di bawah.

rumus identitas trigonometri dan pembuktiannya

Substitusi persamaan x2 + y2 = r2 ke dalam persamaan terakhir yang diperoleh, sehingga menjadi seperti berikut.

sin2α + cos2α = r2/r2
sin2 α + cos2 α = 1 (Terbukti)

Untuk pembuktian rumus identitas lainnya dapat dibuktikan dengan teknik dan melibatkan persamaan sin2 α + cos2 α = 1 yang telah dibuktikan sebelumnya.

Cari Blog Ini

Imam Toifur