Persamaan Trigonometri Dasar

Definisi

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat satu atau beberapa fungsi trigonometri dari beberapa sudut yang belum diketahui

Persamaan Trigonometri Dasar

1.      Jika sin x = sin α, nilai x = α + k.360⁰ atau x = (180⁰ – α) + k.360⁰

2.      Jika cos x = cos α, nilai x = α + k.360⁰ atau x = – α + k.360⁰

3.      Jika tan x = tan α, nilai x = α + k.180⁰

Dengan k adalah bilangan bulat.

Atau

1.      Jika sin x = sin α, nilai x = α + k.2π atau x = (π  – α) + k. 2π

2.      Jika cos x = cos α, nilai x = α + k. 2π atau x = – α + k. 2π

3.      Jika tan x = tan α, nilai x = α + k. π

Dengan k adalah bilangan bulat.

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut!

a.       sin x = sin 3/8 π, 0 ≤ x ≤ 2π

b.      cos x = cos 20⁰, 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰

c.       tan x = tan 5/12 π, 0 ≤ x ≤ 2π

Alternatif Penyelesaian:

a.       sin x = sin 3/8 π, maka diperoleh:

1)      x = 3/8 π + k.2π

k = 0 → x = 3/8 π + 0.2π = 3/8 π

k = 1 → x = 3/8  π + 1.2π = 19/8 π (tidak memenuhi)

2)      x = (π - 3/8 π) + k.2π ↔ x = 5/8 π + k.2π

k = 0 → x = 5/8 π + 0.2π = 5/8 π

k = 1 → x = 5/8 π + 1.2π = 21/8 π (tidak memenuhi)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3/8 π, 5/8 π}

b.      cos x = cos 20⁰, maka diperoleh:

1)      x = 20⁰ + k.360⁰

k = 0 → x = 20⁰ + 0.360⁰ = 20⁰

k = 1 → x = 20⁰ + 1.360⁰ = 380⁰ (tidak memenuhi)

2)      x = –20⁰ + k.360⁰

k = 0 → x = –20⁰ + 0.360⁰ = –20⁰ (tidak memenuhi)

k = 1 → x = –20⁰ + 1.360⁰ = 340⁰

k = 2 → x = –20⁰ + 2.360⁰ = 700⁰ (tidak memenuhi)

Jadi, himpunan penyelesainnya adalah {20⁰, 340⁰}

c.       tan x = tan 5/12 π, maka diperoleh:

x = 5/12 π + k.π

k = 0 → x = 5/12 π + 0.π = 5/12 π

k = 1 → x = 5/12 π + 1.π = 17/12 π

k = 2 → x = 5/12 π + 2.π = 29/12 π (tidak memenuhi)

jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {5/12 π, 17/12 π}

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari

a.       sin 2x = sin 30⁰, 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰

b.      cos 3x = cos 150⁰, 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰

c.       tan 4x = tan 200⁰, 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰

Alternatif Penyelesaian:

a.       sin 2x = sin 30⁰, maka diperoleh:

1)      2x = 30⁰ + k.360⁰ ↔ x = 15⁰ + k.180⁰

k = 0 → x = 15⁰ + 0.180⁰ = 15⁰

k = 1 → x = 15⁰ + 1.180⁰ = 195⁰

k = 2 → x = 15⁰ + 2.180⁰ = 375⁰ (tidak memenuhi)

2)      2x = (180⁰ – 30⁰) + k.360⁰ ↔ 2x = 150⁰ + k.360⁰ ↔ x = 75⁰ + k.180⁰

k = 0 → x = 75⁰ + 0.180⁰ = 75⁰

k = 1 → x = 75⁰ + 1.180⁰ = 255⁰

k = 2 → x = 75⁰ + 2.180⁰ = 435⁰ (tidak memenuhi)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {15⁰, 75⁰, 195⁰, 255⁰}

b.      cos 3x = cos 150⁰, maka diperoleh:

1)      3x = 150⁰ + k.360⁰ ↔ x = 50⁰ + k.120⁰

k = 0 → x = 50⁰ + 0.120⁰ = 50⁰

k = 1 → x = 50⁰ + 1.120⁰ = 170⁰

k = 2 → x = 50⁰ + 2.120⁰ = 290⁰

2)      3x = –150⁰ + k.360⁰ ↔ x = –50⁰ + k.120⁰

k = 1 → x = –50⁰ + 1.120⁰ = 70⁰

k = 2 → x = –50⁰ + 2.120⁰ = 190⁰

k = 3 → x = –50⁰ + 3.120⁰ = 310⁰

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {50⁰, 70⁰, 170⁰, 190⁰, 290⁰, 310⁰}

c.       tan 4x = tan 200⁰, maka diperoleh:

4x = 200⁰ + k.180⁰ ↔ x = 50⁰ + k.45⁰

k = 0 → x = 50⁰ + 0.45⁰ = 50⁰

k = 1 → x = 50⁰ + 1.45⁰ = 95⁰

k = 2 → x = 50⁰ + 2.45⁰ = 140⁰

k = 3 → x = 50⁰ + 3.45⁰ = 185⁰

k = 4 → x = 50⁰ + 4.45⁰ = 230⁰

k = 5 → x = 50⁰ + 5.45⁰ = 275⁰

k = 6 → x = 50⁰ + 6.45⁰ = 320⁰

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {50⁰, 95⁰, 140⁰, 185⁰, 230⁰, 275⁰, 320⁰}